momente şi schiţe de informatică şi matematică
anti point—and—click

Substratul problemei ("inside-out")

ecuația de gradul III | numere complexe | raport anarmonic
2007 nov

Privind rezolvarea problemelor (de matematică), există două atitudini diametral opuse - una bazată pe dresare (care începe încă din primele zile de şcoală) şi una mai rară, bazată pe investigare.

Atitudinea funcţionărească şi atitudinea creatoare

În general, în şcoală se deprinde o atitudine pragmatică asupra rezolvării de probleme; de fapt, "rezolvare" se reduce la îndeplinirea conştiinciosă şi impersonală a unei sarcini: "am de scris Tema". A face (tema) înseamnă a scrie măcar enunţul şi vreo formulă acolo; a "redacta" soluţia (dar nu se mai ajunge la acest subiect) înseamnă a trage linie la caiet şi a scrie "Temă" sub o dată calendaristică. La orice moment, "caietul de teme" arată la fel: o înşiruire de enunţuri şi de simboluri (pe "caiet de teme la Mate" simbolurile care şi formează întreaga "rezolvare" sunt "X", "=", "=>" şi cele obişnuite pentru fracţie, "+", "-", etc.).

Atitudinea creatoare este rară, chiar neobişnuită. Unele "probleme" sunt moarte şi nu merită atenţie - simple exerciţii de consolidare sau automatizare a unei formule sau mecanism (s-ar cere scuze elevilor, pentru o aşa de mare cantitate de asemenea exerciţii în manuale şi culegeri). Dar unele probleme sunt vii: ridică în mod tacit, alte probleme sau întrebări, ori "ascund" un anumit context care se cere simţit; soluţia trebuie căutată (nu dată) şi uneori ea ar trebui să spună ceva despre problemă (uneori şi despre autor).

Deprinderea de a-ţi pune şi întrebări în jurul unei anumite probleme - în loc de a o închide şi mereu a trece funcţionăreşte la "următorul exerciţiu" - face diferenţa între "mediocru" (sau, obişnuit) şi "nemediocru"; maestrul vede sau simte substratul problemei şi excepţiile de la regulile cu care am fost dresaţi şi are obişnuinţa de a contextualiza, privind problema din mai multe puncte de vedere (o "întoarce pe dos" sau "pe toate feţele").

Desigur, învăţământul nu este pentru "maeştri", dimpotrivă - este "general" şi vizează "obişnuitul"; dar profesorul n-ar trebui să fie şi el, un simplu "funcţionar" conştiincios şi ar trebui să-i reînveţe pe elevii săi să citească, adică să vadă şi să simtă dedesubturile sau substratul problemei. Dar în parametrii oficiali, luîndu-ne după ce se vede, nu după ce se zice - realitatea este şi ea una de tip inside-out (cam pe dos); s-a oficializat în mod tacit şi s-a instituţionalizat scopul final al învăţământului nostru ca fiind "elevii să ia Bac-ul" şi "să treacă la Capacitate"; şcoala e catalogată prin "procent reuşiţi Bac/Capa", profesorul e gratificat prin "numărul de ore de pregătire pentru Bac" şi prin "procentul de reuşiţi", elevul şi părinţii sunt mulţumiţi dacă profesorul le dă "pe scurt" şi fără bătaie de cap, stratagemele de rezolvare a subiectelor de Bac.

Pentru majoritate, atitudinea "creatoare" este nimic altceva decât pierdere de timp şi a devenit nedorită, cam în toate zonele realităţii obişnuite: cică "de ce să mai inventăm roata?".

Povestea unei inegalităţi

În 1986 Gazeta Matematică mi-a publicat problema următoare (citată aici de pe mathlinks.ro):

S-a publicat o soluţie prin nr. 12/1986 (la rubrica "Probleme rezolvate"); peste ani, s-au dat şi alte soluţii:

Toate aceste rezolvări sunt de nivel elementar (pe-atunci, cam pentru clasa a VII-a; astăzi… cam de clasa a IX-a sau a X-a) şi reuşesc ca de obicei, să banalizeze enunţul (de altfel, în lipsa unui context de cunoaştere corespunzător, orice lucru ajunge să pară banal); te şi jenezi s-o mai consideri "problema mea" şi apare întrebarea: cum de s-a publicat o chestiune aşa de banală (tocmai în G.M.)?

Rezolvitorul obişnuit, care de obicei rezolvă numai ce-i propun alţii ca "temă", nu percepe nimic din sofisticăriile de autor; abia după o anumită cultivare (G.M. este un bun început), el poate ajunge să înţeleagă că autorul nu ar fi propus spre publicare o chestiune pentru care să fi avut în vedere o soluţionare banală (bine… există autori şi autori). "Ce a avut în vedere", "de unde a plecat autorul" sunt întrebări fireşti, cel puţin pentru o bună parte dintre problemele din G.M.

Astăzi am 30 de elevi în clasa a IX-a care (cu o excepţie sau două) n-au auzit de Euclid; altfel, sunt "copii buni" - au luat peste 8 la Capa (unde evident, nu-ţi trebuie "Euclid"). Au învăţat şi ei ceea ce li s-a propus să înveţe, cu scopul pe care l-au fixat "specialiştii noştri"; profesorii au respectat conştiincios şi cu responsabilitate acest scop, fără a se gândi dacă într-adevăr "Capa" şi este scopul final al existenţei; părinţii sunt desigur bucuroşi - s-a trecut de Capa cu note bune, şcoala e mulţumită, Inspectoratul e mulţumit, Ministerul e mulţumit ("… şi nici eu nu mă simt prea bine").

Dar pe-atunci exista în manualele oficiale noţiunea de raport anarmonic; cine ar fi în temă, ar putea recunoaşte - datorită celor patru diferenţe x-y implicate - că inegalitatea în cauză trebuie să aibă ceva legătură cu raportul anarmonic. A ignora legăturile posibile - adică, a fi un ignorant - înseamnă a scăpa şansa de "a reinventa roata", adică şansa de a învăţa regândind lucrurile.

"pe dos", despre raportul anarmonic

Fie a, b, c, d patru numere complexe distincte; se numeşte raport anarmonic al mulţimii ordonate (a, b, c, d) numărul:

$$\frac{a-c}{b-c}\frac{b-d}{a-d}=(abcd)$$

Mulţimea neordonată {a, b, c, d} poate genera 4! = 24 de rapoarte anarmonice; însă din definiţie rezultă că

$$(abcd)=(cdab)=(dcba)=(badc)$$

deci există cel mult 6 rapoarte anarmonice distincte şi acestea se obţin fixând un număr şi permutându-le pe celelalte trei - de exemplu: (abcd), (abdc), (acbd), (acdb), (adbc), (adcb).

Aceste 6 rapoarte anarmonice se pot exprima în funcţie de unul dintre ele: dacă $\mu = (abcd)$ atunci $(abdc) = \frac{1}{\mu}$, $(acbd) = 1 - \mu$, $(acdb) = \frac{1}{1 - \mu}$, $(adbc) = \frac{\mu - 1}{\mu}$ şi $(adcb) = \frac{\mu}{\mu-1}$.

În general aceste 6 valori sunt distincte. Avem însă cazuri când două sau mai multe dintre ele coincid; egalându-le câte două, în toate modurile posibile, obţinem:

$$\mu^2-1=0,\; 2\mu - 1 = 0,\; \mu(\mu - 1) = 0,\; \mu^2-\mu+1=0$$

Să grupăm după natura lor, rădăcinile acestor ecuaţii (excluzând cazurile $\mu = 1$ şi $\mu=0$, pentru că a, b, c, d sunt distincte):

1) $\mu = (abcd)\,\in\,\{-1, 2, 2^{-1}\}$ (reale);

2) $\mu=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$ (imaginare)

În cazul 1) cele 24 de rapoarte anarmonice ale mulţimii {a, b, c, d} iau, câte opt, valorile -1, 2 sau 2-1 şi se numesc rapoarte armonice (se spune că a, b, c, d sunt în raport armonic).

În cazul 2) cele 24 de rapoarte anarmonice iau câte 12, valorile imaginare $\varepsilon,\,\varepsilon^{-1}$ (unde $\varepsilon^3 = -1,\, \varepsilon \ne -1$) şi se numesc rapoarte echianarmonice. Ecuaţia $\mu^2-\mu+1=0 = 0$ provine din una dintre egalităţile (abcd) = (acdb) sau (abcd) = (adbc); deci putem observa că un raport este echianarmonic dacă şi numai dacă el se păstrează în urma unei permutări circulare între trei numere. În concluzie, în cazul când a, b, c, d sunt într-un raport echianarmonic avem relaţiile:

$$\frac{a-c}{b-c}\frac{b-d}{a-d}=\frac{b-a}{c-a}\frac{c-d}{d-b}\in\{\varepsilon,\varepsilon^{-1}\},\;\varepsilon^3=-1,\;\varepsilon\ne -1\;\;\;\;\small (*)$$

Valoarea din (*) este deci număr complex (nu real); aceasta înseamnă că dacă a, b şi c sunt reale atunci obligatoriu d ∈ $\mathbb{C}-\mathbb{R}$ (altfel, valoarea din (*) ar fi număr real). Eliminând numitorii în (*), găsim:

(a - b)(b - c)(c - d)(d - a) + (a - c)2(b - d)2 = 0    (**)

şi cu observaţia de mai sus: dacă a, b, c ∈ R şi are loc (*) - deci şi (**) - atunci d ∈ C - R; altfel spus, trinomul (**) de gradul doi în variabila d are rădăcini complexe; deci el păstrează semnul coeficientului lui d2 - coeficient care după un calcul simplu, se vede că este strict pozitiv. Prin urmare, în (**) avem "> 0" pentru oricare numere reale distincte, adică tocmai am ajuns la inegalitatea propusă.

Dar mai departe: coeficienţii trinomului (**) sunt funcţii simetrice de a, b, c - deci se vor putea exprima prin coeficienţii ecuaţiei de gradul trei care are ca rădăcini numerele a, b, c; această observaţie este speculată în [1] regăsind pe această cale elementară ("reinventând roata", aşa-i?) condiţia în care o ecuaţie de gradul trei are rădăcini reale (este vorba de o teoremă a lui Joachimsthal) şi restabilind elementar, o metodă (dată de Cayley) de rezolvare a ecuaţiilor de gradul trei.

Bibliografie

 [1] Vlad Bazon - "O proprietate a raportului echianarmonic şi aplicaţii", 
                  G. M. nr. 6/1987 (p. 210-214)

vezi Cărţile mele (de programare)

docerpro | Prev | Next