momente şi schiţe de informatică şi matematică
anti point—and—click

Notă asupra unei proprietăţi a semicardioidei

MetaPost | cardioidă
2018 dec

În [1] am stabilit că pentru $a\gt 0$, punctele de coordonate $$x=2at(2t-1),\quad y=4at\sqrt{t(1-t)};\quad t\in[0,1]\quad\quad\quad\small(1)$$ reprezintă ramura de deasupra axei $\mathsf{O}x$ (şi-i zicem "semicardioidă") a cardioidei $(x^2-ax+y^2)^2-a^2(x^2+y^2)=0$, astfel încât când $t$ parcurge intervalul $[0,\frac{1}{2}]$ punctele - definite prin (1) - $\mathsf{P}_t$ şi $\mathsf{Q}_{1-t}$ parcurg în sensuri inverse arcul lui $\mathcal{S}$ din stânga şi respectiv pe cel din dreapta axei $\mathsf{O}y$ şi au aceste proprietăţi:
$\quad\quad$(s1) $\mathsf{OP}_t+\mathsf{OQ}_{1-t}=2a$;
$\quad\quad$(s2) $\mathsf{O}y$ bisectează unghiurile $\mathsf{P}_t\mathsf{OQ}_{1-t}$;
$\quad\quad$(s3) mijloacele segmentelor $\mathsf{P}_t\mathsf{Q}_{1-t}$ aparţin arcului de parabolă
$\quad\quad\quad$ $\quad y=\sqrt{a(a-x)},\,x\in[0,a]$.

În [1] remarcasem că parabola indicată la (s3) "mediază" între cele două arce; dar proprietatea (ratată în [1]) care ar da sens acestei formulări este următoarea:

(s4) punctele $\mathsf{P}_t$ şi $\mathsf{Q}_{1-t}$ sunt simetrice faţă de dreapta care uneşte vârful parabolei $y^2=a(a-x)$ cu mijlocul segmentului $\mathsf{P}_t\mathsf{Q}_{1-t}$ (aflat pe parabolă, conform (s3)).

Pentru a justifica (s4) să calculăm distanţa de la vârful parabolei la punctul $\mathsf{P}_t$: $\mathsf{dist}^2((a,0),\,\mathsf{P}_t)=(2at(2t-1)-a)^2+16a^2t^2t(1-t)=a^2(-4t^2+4t+1)$; observând acum că expresia $-4t^2+4t+1$ este invariantă faţă de transformarea $t\rightarrow 1-t$, deducem că $\mathsf{dist}((a,0),\,\mathsf{P}_t)=\mathsf{dist}((a,0),\,\mathsf{Q}_{1-t})$ - ceea ce înseamnă că vârful parabolei se află pe mediatoarea segmentului $\mathsf{P}_t\mathsf{Q}_{1-t}$ şi deci, avem (s4).

Imaginea proprietăţilor enunţate mai sus ar fi (de exemplu pentru $t=0.13$, cu $a=3$, luând ca unitate de măsură $u=2cm$) următoarea:

Într-adevăr, (s1) spune că $\mathsf{P}_t$ şi $\mathsf{Q}_{1-t}$ sunt focarele unei elipse care trece prin $\mathsf{O}$ şi are axa mare de lungime $2a$; după (s2), dreptele care unesc $\mathsf{O}$ cu focarele menţionate sunt egal înclinate faţă de $\mathsf{O}x$ - deci elipsa respectivă este tangentă în $\mathsf{O}$ axei $\mathsf{O}x$. Conform (s3) şi (s4), centrul acestei elipse aparţine parabolei $y^2=a(a-x)$, iar axa mică a elipsei trece prin vârful $(a,0)$ al parabolei şi are lungimea $\mathsf{MV}=4at(1-t)$ (ceea ce rezultă din triunghiul dreptunghic $\mathsf{P}_t\mathsf{MV}$ în care avem $\mathsf{VP}_t=a$, iar cateta $\mathsf{MP}_t$ se deduce plecând de la (1)).

Mai precizăm că nu a fost nevoie să găsim ecuaţia elipsei, pentru a trasa figura de mai sus; în MetaPost putem obţine o elipsă scalând un cerc pe orizontală (pentru "axa mare") şi pe verticală (pentru "axa mică"), urmând apoi să o centrăm în punctul $\mathsf{M}$ şi să rotim axa mare pe direcţia $\mathsf{P}_t\mathsf{Q}_{1-t}$:

draw fullcircle xscaled(2*a*u) yscaled(8*a*t*(1-t)*u) 
                shifted(M) rotatedaround(M, angle(Q - P))
     withpen pencircle scaled 0.8 withcolor .6red;

vezi Cărţile mele (de programare)

docerpro | Prev | Next